Учебная программа по математике для кадетских корпусов, 1889

МАТЕМАТИКА

Курс математики в кадетских корпусах состоит из следующих отделов: арифметика, начальная алгебра, геометрия, приложение алгебры к геометрии, тригонометрия и начала аналитической геометрии. Содержание и объем преподавания названных предметов подробно изложены в помещенном ниже распределении курса по классам; здесь же приводятся краткие руководящие указания о характере преподавания каждого из отделов в различных классах.

При поступлении в первый класс, ученики приносят с собой знание механизма четырех действий над целыми отвлеченными числами, ограничиваясь двузначными множителем и делителем, и умение решать изустно различные задачи в пределе первой сотни; тем не менее, в виду неизбежного разнообразия в домашней подготовке учеников, не только в количественном, но и в качественном отношении, и с целью привести их знания в порядок, приучить к правильному употреблению и обозначению арифметических действий, а также к правильному расположению вычислений, признается необходимым начинать курс арифметики с решения изустных задач в пределе первой сотни.

Учебный материал, указанный в детальной программе для первого класса, следует изучать во время самых уроков, без помощи учебника; но преподаватель должен следовать системе изложения учебника, принятого в следующих классах. На внеклассное время предлагаются ученикам лишь задачи, и то только аналогичные с теми, кои уже решались в классе под руководством учителя. Следует избегать задач, требующих особых арифметических приемов, недоступных значительному большинству класса без указания учителя; цель задач должна состоять в усвоении правильного употребления того или другого действия и в навыке производства его. Это замечание должно иметь в виду и в других классах. Исключения в этом отношении допускаются лишь для лучших учеников. При решении задач в классе следует обращать внимание на последовательное и аккуратное расположение вычислений, как равно приучать учеников к составлению из условий задач формул и к возможным упрощениям их перед вычислением. Для более прочного усвоения учениками преподаваемого материала необходимо в течение всего УЧЕБНОГО года возможно чаще требовать от них объяснений из всего пройденного курса; каждый ученик должен уметь, без особого повторения, объяснять, почему при решении данного вопроса употребляется то или другое действие, равно как и объяснять самый механизм вычислений.

Во втором классе повторяется по учебнику курс целых чисел и изучается по учебнику же указанный в программе новый материал; в начале года полезно заставлять учеников читать учебник на уроках вслух, а затем, когда они достаточно привыкнут к чтению учебника, задавать им и на внеклассное время приготовление разъясненных по учебнику уроков.

Курс математики третьего класса состоит из арифметики и введения в алгебру. В этом классе арифметика начинается повторением курса II класса и заканчивается. Статью о разыскании общего наибольшего делителя с помощью последовательных делений и о его свойствах признается более целесообразным пройти в конце курса III класса. По алгебре ученики знакомятся здесь с буквенным обозначением чисел и с упрощением формул введением коэффициентов и показателей; определяя численную величину многочленов, ученики упражняются также в действиях с обыкновенными и десятичными дробями, а составляя и решая простейшие уравнения первой степени с одним неизвестным, они знакомятся с новым способом решения арифметических задач, входящих в состав курса этого же класса. На арифметику и алгебру назначается в III класса 5 уроков в неделю, из которых на последний предмет удаляется один недельный урок в течение всего УЧЕБНОГО года, или же два недельных урока во второе полугодие. В этом классе алгебра проходится без помощи учебника.

Курс математики в четвертом и пятом классах состоит из двух отделов: алгебры и геометрии. Курс алгебры IV класса заключается, главным образом, в изучении четырех действий над одночленами, многочленами и дробями и в решении уравнений первой степени с одним неизвестным, а также в изучении свойств пропорций. Здесь выясняется обобщение алгебраических количеств введением отрицательных количеств и обобщается понятие о показателе введением отрицательного показателя. Особенное внимание должно быть обращено на приобретение учениками навыка в действиях с многочленными дробями вообще, в преобразовании рациональных формул в простейшие и тождественные с данными и в составлены уравнений из условий задач.

На изучение указанного в программе курса алгебры назначается здесь 3 годовых урока. В V классе курс алгебры, на который уделяется в первое полугодие 4, а во второе 3 урока в неделю, заключает в себе решение уравнений и радикалы.

Курс геометрии в IV классе состоит в изученbb свойств прямых линий и углов, перпендикулярных и параллельных линий, прямолинейных фигур, окружностей. В V классе заканчивается планиметрия и начинается стереометрия. На изучение геометрии назначено в IV классе 3 урока, а в V классе в первое полугодие 3 урока, и во второе -4 урока. Отдельных уроков на геометрическое черчение не назначается; решение же геометрических задач ведется параллельно с изучением курса геометрии как в IV, так и в V классах, причем требуется не только умение рассказать и объяснить решение известной задачи, но и умение отчетливо сделать требуемое построение. С этою целью для учеников обязательно иметь особые тетради, в которых они вычерчивают аккуратно, при помощи циркуля, линейки и других чертежных приборов, по меньшей мере, все те задачи, которые указаны в подробной программе. Кроме решения геометрических задач на построение, решаются, особенно в V-м классе, еще задачи на вычисление, причем необходимо постоянно указывать на степень точности вычислений и знакомит учащихся с приближенными вычислениями.

В курс шестого класса входят: 1) алгебра, 2) геометрия, приложение алгебры к геометрии, и 3) тригонометрия. В этом классе особое внимание следует обращать на приучение учеников к логарифмическим вычислениям и на применение их к решению не только задач на сложные проценты, но и задач тригонометрических, а в связи с последними и стереометрических.

Наконец, курс математики в седьмом классе составляется: 1) из повторительного курса всех отделов, пройденных в предшествовавших классах, на что полагается 4 годовых урока, и 2) начал аналитической геометрии - при двух годовых уроках.

Все отделы повторяются по учебникам предшествовавших классов, причем делаются некоторые дополнения сообразно с силами учеников. При повторении арифметики, на статью о делимости, об общем наибольшем делителе, о свойствах простых чисел, обращается особенное внимание. При общем повторении курса математики необходимо решать задачи, относящаяся к тому или другому из ее отделов, преимущественно же такие, для решения которых требуется применять знания, усвоенные как во всех отделах математики, так и на уроках физики и космографии

I КЛАСС

(без учебника, 5 уроков в неделю).

Арифметика.

Решение изустных задач в пределе первой сотни. Понятие о числе и единице.

Словесное счисление.

Письменное счисление; цифры. Числа однозначные и многозначный.

Действия над целыми числами.

Определения сложения, слагаемых, суммы. Основное свойство суммы - неизменяемость от порядка сложения. Сложение в смысле увеличения числа другим числом. Знак сложения.

Сложение однозначных чисел. Сложение двузначного числа с однозначным. Сложение каких-нибудь чисел. Поверка сложения. Примеры и задачи.

Определения вычитания, уменьшаемого, вычитаемого и остатка или разности. Знак вычитания. Случаи, когда вычитаемое и остаток однозначный числа. Случай, когда даны для вычитания какие-нибудь числа.

Зависимость между уменьшаемым, вычитаемым и остатком. Поверка вычитания. Значения слова вычесть,

а) в смысле уменьшения числа,

б) когда узнают, сколькими единицами одно число больше другого, и

в) когда по данной сумме двух слагаемых и одному из них ищется другое слагаемое. Задачи на все эти случаи. Примеры и задачи на вычитание.

Определение умножения в смысле сложения равных слагаемых. Множимое, множитель. Перестановка их. Перемножение двух однозначных чисел. Таблица умножения. Умножение многозначного числа на однозначное. Умножение числа на единицу, сопровождаемую нулями и на однозначные числа, сопровождаемые нулями.

Умножение двух каких-нибудь чисел и чисел, оканчивающихся нулями. Поверка умножения. Число цифр произведения. Значение слова умножить

а) в смысле увеличения в нисколько раз,

б) в смысле составления произведения из множимого так, как множитель составлен из единицы. Задачи на эти случаи и вообще на умножение.

Определение деления в смысле разложения числа на равные части. Делимое, делитель, частное. Случай, когда делитель и частное однозначные числа. Свойство остатка деления. Случай, когда делитель однозначное, а частное многозначное число. Случай, когда делитель многозначное, а частное однозначное.

Деление каких-нибудь чисел. Деление чисел на 10, 100, 1000 и т. д. Деление чисел, оканчивающихся нулями. Поверка деления и число цифр частного. Значения слова разделить, как следствия из первоначального определения:

а) в смысле содержания меньшего числа в большем,

б) уменьшения числа в несколько раз,

в) отыскания, во сколько раз одно число больше другого, и

г) отыскания множителя по данному произведению двух множителей и одному из них.

Задачи на все случаи. Задачи на деление вообще. Употребление скобок.

Именованные числа.

Величина; величины однородные и разнородные; значение слова измерить; единица. Меры длины, веса, сыпучих тел, жидкостей, времени, денег, бумаги, поверхности, пространства или емкости. Необходимость различных именованных единиц. Отношение между именованными единицами. Именованные простые и составные числа. Отвлеченные числа, целые и дробные.

Раздробление и превращение, как простых, так и составных чисел.

Сложение и вычитание простых и составных именованных чисел. Задачи на вычисление времени.

Умножение именованных чисел. Деление именованных чисел на отвлеченные и именованного на именованное.

Замечания на решения задач вообще. Задачи простые и сложные. Перечислить все случаи употребления каждого действия и применить к решению задач; формулы.

Решение задач на все случаи действий с составными именованными числами.

Понятие о дробях.

Понятие о долях единицы: половине, трети, четверти и т. д Понятие о дроби, как следствее счета долей. Изображение дробей. Числитель и знаменатель. Дроби правильные и неправильные; смешанные числа.

Обращение смешанного числа в неправильную дробь. Исключение целого числа из неправильной дроби. Увеличение и уменьшение дроби в несколько раз. Применение этих свойств к решению задач, в которых ищется одна или нисколько частей числа, и обратно по данным одной или нескольким частям числа, ищется это число.

Задачники:

Верещагина. Сборник арифметических задач.

Воронова. Собрание арифметических задач.

Евтушевского. Собрание арифметических задач.

II КЛАСС

(4 урока в неделю).

Арифметика.

Повторение по учебнику четырех действий над целыми числами. Отдел этот дополнить следующим:

Произведение трех и более множителей. Произведение нескольких множителей не переменяется от их перестановки. Умножение числа на произведение нескольких множителей. Умножение произведения нескольких множителей на какое-нибудь число. Степень, показатель степени.

Изменение суммы с увеличением или уменьшением слагаемого на какое-нибудь число. Изменение разности с увеличением или уменьшением на какое-нибудь число уменьшаемого и вычитаемого.

Изменение произведения, когда один его множитель увеличится или уменьшится в нисколько раз. Неизменяемость произведения, когда один его множитель увеличится, а другой уменьшится во столько же раз. Изменение частного, когда делимое увеличится или уменьшится в несколько раз, при том же делителе. Изменение частного, когда делитель увеличится или уменьшится в несколько раз, а делимое останется без перемены. Неизменяемость частного от одновременного увеличения, а также уменьшения в одинаковое число раз, как делимого, так и делителя. Употребление скобок.

Повторение по учебнику именованных чисел. Задачи.

Делимость чисел.

Делимость суммы и разности на какое-нибудь число, если все числа, данные для сложения и вычитания, делятся на это число. Делимость произведения на какое-нибудь число, если один множитель делится на это число; обратно, чтобы произведение разделить на число, достаточно разделить одного множителя на это число.

Признаки делимости на 2, на 5, на 4, на 25, на 8, на 9, на 3, на 10, на 100. Произведение делится на каждого из своих множителей.

Определение простого числа; признак простого числа. Числа взаимно простые. Разложение числа на простые множители. Наименьшее кратное. Общий наибольший делитель, находимый помощью разложения чисел на простые множители.

Обыкновенные дроби.

Определение дроби и разные ее виды. Обращение смешанного числа в неправильную дробь. Исключение целого из неправильной дроби. Свойства дробей.

Сокращение дробей по признакам делимости. Данную дробь заменить другою дробью с данным знаменателем. Приведете дробей к одному знаменателю. Случай, когда знаменатели не имеют общих множителей. Сложение дробей. Сложение смешанных чисел. Вычитание дробей; вычитание смешанных чисел.

Общее определение умножения. Умножение в случае, когда один множитель целое число и когда оба множителя дробные. Умножение смешанных чисел. Замечание на умножение смешанного числа на целое. Сравнение произведения с множимыми когда множитель больше единицы, меньше ее и равен ей. Умножение нескольких дробей. Перестановка множителей.

Общее определение деления. Деление числа на целое и на дробь. Деление смешанных чисел. Замечание на деление смешанного числа на целое. Сравнение частного с делимым, когда делитель меньше единицы, больше ее и равен единице. Неизменяемость частного в случае умножения делимого и делителя на одно и то же число.

Решение задач на четыре действия с дробями. Составление формул и употребление скобок.

Десятичные дроби.

Происхождение и изображение десятичных дробей; их свойства. Сложение и вычитание.

Умножение десятичных дробей на целое и на десятичную дробь. Деление десятичной дроби на целое число; приближение частного до единицы какого-либо разряда и до половины единицы. Деление числа на десятичную дробь. Решение задач на десятичные дроби.

Именованные дробные числа.

Раздробление дробного простого и составного именованного числа. Простое дробное именованное число выразить составным именованным числом. Превращение простых и сложных именованных чисел. Сложение и вычитание.

Умножение составного именованного на целое отвлеченное. Деление составного именованного на целое отвлеченное. Умножение и деление составного именованного числа на отвлеченное дробное число. Решение задач на дробные именованные числа.

Руководство. Арифметика Франца Симашко.

Задачники.

Верещагина. Сборник арифметических задач.

Воронова. Собрание арифметических задач, ч.I и II.

Евтушевского. Собрание арифметических задач.

III КЛАСС.

(На арифметику и введение в алгебру 5 уроков в неделю, из которых на алгебру полагается один урок в течение всего курса или два урока во второе полугодие).

а) Арифметика.

Повторение курса II класса.

Обращение обыкновенных дробей в десятичные. Признаки обращения обыкновенной дроби в конечную и бесконечную десятичные дроби. Число десятичных цифр, получаемых при обращении обыкновенной дроби в конечную десятичную. Периодические десятичные дроби, простые и смешанные.

Обращение простых и смешанных периодических десятичных дробей в обыкновенные. Совокупный действия над обыкновенными и десятичными дробями. Метрическая система. Основные единицы: метр, ар, стер, литр, грамм и франк; составление других мер. Показать на раздроблении и превращении, а также на задачах, преимущество этой системы.

Пропорциональность.

Определения отношения, его членов; изображение отношения. Величины прямо и обратно пропорциональные. Пропорция, ее члены. Определение члена пропорции по трем данным членам.

Решение задач на простое и сложное тройное правило помощью пропорции и приведением к единице. Вывод правила.

Простые проценты.

Капитал, проценты и их значение Процентные деньги. Из трех величин: капитала, времени и процентных денег, при постоянной одной из них, остальные две будут прямо или обратно пропорциональны. При постоянном времени, сумма капитала и процентных денег прямо пропорциональна и капиталу, и процентным деньгам.

Учет векселей.

Вексель, валюта, учет. Учет математический и коммерческий. Пропорциональный раздел.

Правила смешения 1-го и 2-го рода.

Среднеарифметическое число.

Понятие о погрешностях. Найти сумму и разность с данною точностью. Умножение приближения на целое число с точностью до единицы. Применение к различным случаям. Деление приближения на целое число.

Отыскание общего наибольшего делителя последовательным делением. Свойства общего наибольшего делителя. Если число делит произведение двух множителей, и если оно взаимно простое с одним из них, то оно разделит другой множитель. Если число делится на два взаимно простых числа, то оно разделится и на их произведение. Следствия:

а) всякое простое число, разделяя степень, должно разделить и основание степени;

б) степени взаимно простых чисел суть числа взаимно простые.

Решение задач, относящихся к пройденному курсу.

Руководство и задачники те же, что и для II класса.

б) Введение в алгебру (без учебника).

Решение арифметических задач формулами. Польза формул при решении однородных задач. Задача частная и общая. Число частное и общее.

Введение букв для обозначения общих чисел. Знаки первых четырех действий. Употребление скобок. Решение общих задач и составление общих формул. Приложение общей формулы к решению частных задач. Чтение формул.

Упрощение формул при помощи коэффициента и показателя. Одночлен и многочлен. Подобные члены и их приведение. Нахождение численной величины одночленов и многочленов.

Составление и решение простейших уравнений 1-й степени с одним неизвестным. Приложение к решению общих задач на простое тройное правило, на простейшие случаи правила пропорционального деления, правила смешения первого рода и правила смешения второго рода (в случай двух смешиваемых веществ).

Пособия. Сборники алгебраических задач: 1) Бычкова и 2) Пржевальского

I V Класс.

а) Алгебра (3 урока в неделю).

Основным алгебраические действия.

Обозначение количеств буквами, знаки для обозначения действий. Предстоящей (коэффициент) Степень, показатель степени. Алгебраическое выражение. Одночлен, двучлен (бином), трехчлен, многочлен (полином).

Численная величина многочлена. Члены подобные. Измерение одночлена. Однородный многочлен. Скобки.

Величины положительные и отрицательные. Алгебраическое количество, его абсолютная величина. Четыре действия над отрицательными количествами.

Перестановка членов многочлена. Сокращение (приведение) многочленов. Расположение членов по степеням. Задачи.

Сложение одночленов и многочленов. Вычитание одночленов и многочленов. Употребление скобок. Задачи.

Умножение одночленов. Умножение многочлена на одночлен и на многочлен.

Квадрат суммы и разности; произведение суммы чисел на их разность. Квадрат многочлена. Задачи.

Изменение произведения с изменением знака в одном или в обоих множителях. Произведение четного и нечетного числа отрицательных множителей. Измерение произведения двух одночленов, а также произведения двух однородных многочленов. Наибольшее и наименьшее число членов произведения двух многочленов. Задачи.

Деление одночленов. Показатель нуль и отрицательный показатель. Деление многочлена на одночлен и на многочлен.

Общие признаки невозможности деления многочленов. Как далеко должно продолжать деление многочленов, чтобы убедиться в невозможности деления?

Остаток от деления многочлена Ах^т + Вх^т-1 + Сх^т-2 + ... + Mx + N на х — а. Отсюда признак делимости упомянутого многочлена на х — а. Применить этот признак к делимости х^т — а^т, х^т + а^т на х — а, а также х^т — а^m и х^т + а^т на х + а.

Случай деления, когда главная буква входит в несколько членов. Случай деления, когда делимое содержит букву, которой нет в делителе. Задачи. Примеры разложения многочленов на множители в простейших случаях.

Алгебраические дроби.

Определения алгебраической дроби, числителя и знаменателя. Неизменяемость величины дроби от умножения и деления ее членов на одно какое-нибудь количество. Неизменяемость дроби от перемены знаков в ее членах. Правило сокращения дроби, когда ее члены суть одночлены. Сокращение дроби, которой члены суть многочлены, помощью разложения этих членов на множители.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Наименьшее кратное, когда знаменатели одночлены, и когда многочлены, разлагаемые на множители.

Сложение и вычитание алгебраических дробей. Случай, когда одно из слагаемых, а также уменьшаемое или вычитаемое, есть целое алгебраическое количество.

Умножение дроби на дробь; случай, когда один из множителей - целое. Чтобы умножить дробь на алгебраическое целое, можно разделить знаменателя дроби на это целое. Произведение нескольких дробей. Степень дроби.

Деление дроби на дробь. Как следствие - деление, когда делимое или делитель суть целые количества. Чтобы разделить дробь на целое количество, можно числитель разделить на это количество. Случай умножения и деления, когда данные количества состоять из целой и дробной частей. Задачи.

Пропорции.

Определения арифметического отношения и арифметической пропорции. Основное свойство арифметической пропорции. Непрерывная арифметическая пропорция. Средняя арифметическая величина двух и нескольких чисел; она заключается между меньшим и большим из этих чисел.

Определение отношения (геометр.) и пропорции (геометр.), Непрерывная пропорция (геометр.). Основное свойство пропорции (геометр.). По данными трем членам пропорции отыскать четвертый член. Видоизменения пропорции, вследствие перестановки ее членов. Перемножение пропорций почленно. Возведение в степень членов пропорции.

Сложные пропорции. Свойство членов равных отношений. Задачи.

Уравнения первой степени с одним неизвестным.

Равенство, тождество, уравнение, корень уравнения. Разделение уравнений по числу неизвестных и по степени этих неизвестных. Уравнения однозначные (тождественные). Случаи неизменяемости корней уравнения, когда к обеим его частям придадим, отнимем, а также обе части умножим или разделим на одно и то же число. Перенесение членов в уравнении и уничтожение знаменателей умножением всех членов на наименьшее кратное знаменателей.

Решение уравнений первой степени, численных и буквенных, с одною неизвестною. Кроме найденного решения уравнение не может иметь других корней.

Составление уравнений по условиям вопросов. Задачи.

Руководство: Начальная Алгебра Давидова.

Задачники: 1) Пржевальского и 2) Бычкова.

б) Геометрия (3 урока в неделю).

Введение.

Пространство беспредельное и ограниченное. Три рода протяжений: объемы, поверхности и линии (Для выяснения этих понятий преподаватель рассматривает нисколько тел). Предмет геометрии. Прямая линия: приписываемые ей свойства; ее измерение. Ломаная и кривая линии. Плоскость. Разделение начальной геометрии.

Геометрия на плоскости (планиметрия).

Отдел I.

Углы, линии перпендикулярные, наклонные и параллельные.

Определения угла и углов равных. Предложение о равных углах; сложение и вычитание углов; углы смежные, углы прямые; перпендикуляр. Из всякой точки прямой можно провести перпендикуляр к ней и только один. Сумма смежных углов постоянна. Равенство прямых углов. Углы острый и тупой; углы взаимно дополнительные до прямого и до двух прямых. Сумма углов по одну сторону прямой. Из двух взаимно дополнительных углов до двух прямых можно составить смежные углы. Сумма углов около одной точки. Равенство противоположных углов; обратное.

Свойства перпендикуляра и наклонных.

Линии взаимно перпендикулярные. Свойства наклонных, встречающих секущую в равных и неравных расстояниях от основания перпендикуляра. Расстояние от точки до прямой линии. Геометрическое место точек, равно отстоящих от двух данных точек.

Название углов, составляемых двумя прямыми с секущею; зависимость между этими углами; случай, когда эти две прямые пересекаются, и когда сумма внутренних углов по одну сторону секущей равна двум прямым. Определение параллельных линий.

Параллельные линии.

Признаки параллельных линий. Постулат. Проведение линии через данную точку и параллельную данной прямой. Признак взаимного пересечения двух прямых линий. Свойство углов, происшедших от пересечения параллельных линий секущею. Перпендикуляр к одной из двух параллельных линий.

Две прямые, параллельные третьей прямой. Расстояние между двумя параллельными. Свойство углов, которых бока взаимно параллельны или перпендикулярны.

Отдел II.

Многоугольники.

Многоугольник, его периметр, стороны, углы, вершины, хорды, диагонали и внешние углы. Многоугольники выпуклые. Сумма углов внешних и внутренних выпуклого многоугольника. Разделение многоугольников по числу углов.

Треугольник, его основание и высота. Сумма углов треугольника, внутренних и внешних. Разделение треугольников по углам. Гипотенуза и катеты. Равным углам в треугольнике противолежат равные бока, и наоборот. Разделение треугольников по сторонам; свойства треугольников равнобедренных и правильных. Большему углу в треугольнике противолежит больший бок, и наоборот.

Равенство треугольников; части, достаточные для их определения. Свойство треугольников, имеющих по две стороны, соответственно равные. Два треугольника равноугольны, когда их стороны взаимно и соответственно параллельны или перпендикулярны. Свойство хорды треугольника, проведенной параллельно одному боку через середину другого бока.

Четырехугольники. Трапеция, ее основания и высота. Свойства хорды трапеции, проведенной параллельно основаниям через середину одного из боков. Параллелограмм; равенство противолежащих боков и углов в параллелограмме; свойства его диагоналей. Равенство параллелограммов. Ромб или лозанж и прямоугольник. Свойства их диагоналей. Равенство прямоугольников. Квадрат.

Отдел III.

Круговая линия.

Окружность, центр, радиус. Определение положения окружности. Дуга, хорда, сегмент, центральный угол, сектор, угол вписанный, многоугольник вписанный. Диаметр, его свойства. Перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делить пополам как хорду, так и соответствующие ей центральный угол и дугу. Касательная. Многоугольник описанный.

В окружности, или в окружностях равных радиусов, равенство одной из трех соответствующих частей - центрального угла, хорды и дуги - влечет за собою равенство двух прочих. Центральные углы, хорды и дуги увеличиваются, а, следовательно, и уменьшаются вместе; хорды при одинаковом удалении от центра, равны между собой. Хорды уменьшаются по мере удаления от центра. Параллельные прямые, пересекающие окружность, отрезывают от нее равные дуги.

Отношение углов, которых бока встречают окружность или к ней касаются, к соответствующим центральным углам.

Условия, при которых окружности не имеют общих точек, касаются и пересекаются.

Вопросы.

Линейка, циркуль, чертежный треугольник. Поверка их. Восставить перпендикуляр к прямой: в ее середине, в какой ни есть точке и в одном из концов. На прямую опустить перпендикуляр из данной точки. Через данную точку провести параллельную данной прямой.

Построить угол, равный данному. Сложить произвольное число углов. Из угла вычесть другой угол. Угол разделить пополам и вообще на степень числа 2. Те же задачи относительно дуг.

Построить треугольник по данным частям, достаточным для его определения.

Провести окружность через три данные точки, не лежащие на одной прямой. Данной окружности или данной дуги найти центр. Провести касательную к окружности через точку кривой, через точку внешнюю и параллельно данной прямой. В треугольник вписать окружность. На данном основании построить круговой сегмент, вмещающий данный угол.

Руководство. Начальная геометрия Франца Симашко. Задачник: Пржевальского.

V Класс.

а) Алгебра (4 урока в первое полугодие и 3 - во второе).

Решение совокупности уравнений 1-й степени с двумя, тремя и вообще со многими неизвестными.

Приведение уравнения 1-й степени с двумя неизвестными к виду ах + bу = с, где а, b и с суть целые числа, положительные или отрицательные. Неопределенное число решений для одного уравнения с двумя неизвестными.

Совокупность или система двух уравнений с двумя неизвестными. Исключение одного неизвестного помощью:

а) сравнения коэффициентов или сложения и вычитания;

б) помощью сравнения неизвестных;

в) способом подстановления.

Исключение неизвестного из совокупности двух уравнений с двумя неизвестными по способу Безу. Сравнить все способы исключения при решении системы двух уравнений с двумя неизвестными. Кроме найденных решений по тому или другому способу нет других решений (корней).

Приведение уравнения 1-й степени с тремя, четырьмя и вообще со многими неизвестными к виду ах + bу + cz + ... = т, где а, b, с ... т - суть целые числа, положительные или отрицательные. Неопределенное число решений (корней) для уравнения 1-й степени с тремя неизвестными. Совокупность (система) трех уравнений с тремя неизвестными. Исключение неизвестной помощью одного из четырех способов, употребляемых при решении совокупности двух уравнений с двумя неизвестными.

Решение совокупности уравнений 1-й степени с четырьмя и вообще со многими неизвестными. Случай, когда неизвестное не входит во все уравнения. Некоторые частные приемы, упрощающие решение уравнений. Случай, когда число неизвестных больше и когда меньше числа уравнений. Задачи.

Составление уравнений со многими неизвестными по условиям вопроса. Примеры. Задачи.

Исследование уравнений 1-й степени.

Цель исследования уравнений. Решения положительные, отрицательные. Примеры.

Решение общего уравнения 1-й степени с одною неизвестною, приводящее к виду А/0. Понятие о бесконечности; значение А/∞. Примеры.

Решение общего уравнения 1-й степени с одною неизвестною, приводящее к виду 0/0. Случаи, когда выражение 0/0 не составляет признака неопределенности. Примеры. Задача о курьерах.

Исследования решения совокупности двух буквенных уравнений 1-й степени с двумя неизвестными.

Неравенства.

Неравенство не нарушится, если прибавить к обеим его частям, или отнять от них одно и то же число, будут ли части неравенства положительные или отрицательные. Перенесение членов неравенства из одной части в другую. Перемена знаков перед всеми членами неравенства. Умножение и деление обеих частей на положительное и на отрицательное число. Уничтожение знаменателей в неравенстве умножением всех членов на наименьшее кратное знаменателей.

Разделение неравенств по степеням и числу неизвестных. Решение неравенств 1-й степени с одною неизвестною, а также с двумя неизвестными. Задачи.

Неопределенные уравнения 1-й степени с двумя неизвестными.

Зависимость между коэффициентами уравнения 1-й степени с двумя неизвестными, допускающая целые решения; разыскание этих решений на численных уравнениях.

По данной паре решения уравнения 1-й степени с двумя неизвестными отыскать формулы для всех решений в целых. Решение рассматриваемых уравнений в числах целых и положительных. Задачи.

Общие понятия о корнях.

Определение корня и знак корня или радикала 2, 3 и т. д. степеней. Корень всякой степени из целого числа не может быть дробью. Корень всякой степени из дроби. Иррациональные количества принадлежат к несоизмеримым величинам.

Извлечение корней составляет особое действие. Двойственная величина квадратного корня и вообще корня четной степени.

Квадратные корни из чисел.

Извлечение квадратного корня из целого числа. Задачи.

Извлечение квадратного корня из целого и дроби с данным приближением. Задачи.

Квадратный корень алгебраических количеств.

Квадратный корень одночлена. Подобные радикалы (корни). Умножение, деление, возвышение в степень радикалов 2-й степени. Уничтожение радикалов 2-й степени в знаменателе. Задачи.

Извлечение квадратного корня из многочлена. Задачи.

Решение квадратных уравнений.

Общий вид квадратного уравнения. Корни неполного квадратного уравнения. Формула для решения всякого квадратного уравнения. Корни действительные, равные и мнимые. Задачи.

Квадратное уравнение имеет только два решения. Сумма и произведение корней в зависимости его коэффициентов. Разложение трехчлена ax^{2
+} bx + с на два множителя первой степени.

Исследование квадратного уравнения. Задача о светящихся точках. Задачи.

Решение простейших уравнений, приводимых к уравнению второй степени. Простейшие случаи решения двух уравнений 2-й степени с двумя неизвестными.

О степенях и корнях.

Возвышение в какую-нибудь степень и извлечение корня из одночлена целого и дробного. Радикальное или коренное количество. Умножение и деление радикалов при одинаковых показателях корня. Корень из произведения.

Вывод множителей из-под знака радикала и обратное. Неизменяемость величины радикала. Приведение радикалов к одному показателю радикала. Умножение и деление радикалов при разных показателях радикала.

Возвышение радикалов в степень. Извлечение корня из радикала. Замена извлечения корня из количества последовательными извлечениями, если показатель корня есть сложное число. Задачи.

Дробные и отрицательные показатели; действия с ними.

Руководство и задачники те же, что и в IV класс.

б) Геометрия (3 урока в первое полугодие и 4 - во второе).

Отдел IV.

Пропорциональность линий и подобие многоугольников.

Понятие об отношении и измерении величин. Измерение прямой линии. Величины соизмеримые и не соизмеримые. Отношение центральных углов равно отношению соответственных дуг, описанных равными радиусами; пропорциональность величин.

Измерение центральных углов. Транспортир. Измерение углов, составленных хордами, касательными и секущими к окружности.

Параллельные прямые отсекают от двух линии, как ни есть проведенных, пропорциональные части. Хорда треугольника, проведенная параллельно одному из боков, разделяет две прочие стороны на части пропорциональные. Обратное предложение. Линии, проведенные из одной точки, разделяются параллельными прямыми на пропорциональные части, а сами делят параллельные линии на части, составляющая пропорцию. Обратное предложение. Прямая, делящая пополам угол треугольника. Обратное предложение.

Подобие треугольников.

Подобные многоугольники. Разложение их на подобные треугольники. Периметры подобных полигонов пропорциональны сходственным бокам.

Свойство перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу. Применение этого свойства к зависимости между боками прямоугольного и косоугольного треугольников.

Пересекающиеся хорды окружности разделяют одна другую на части обратно пропорциональные. Касательная к окружности есть средняя пропорциональная между секущей, проведенной из одной с нею точки, и внешним отрезком. Секущие, исходящие из одной точки, обратно пропорциональны своим внешним отрезкам. Свойство перпендикуляра, проведенного из точки окружности на диаметр.

Прямую разделить на равные части и на части, пропорциональные данным линиям. Разделить прямую в крайнем и среднем отношении. Построение и употребление масштабов.

Построить: четвертую пропорциональную к трем данным линиям, среднюю пропорциональную между двумя данными прямыми и третью пропорциональную к двум прямым. По данной стороне построить полигон, подобный данному.

Отдел V.

Измерение и сравнение площадей многоугольников.

Площади прямоугольников, имеющих равные основания, относятся как высоты. Площади прямоугольников относятся как произведения основании на соответствующая высоты. О мере площадей. Площадь прямоугольника.

Площади параллелограмма и треугольника. Площади трапеции и описанного около круга многоугольника.

Треугольники, имеющие по равному углу, относятся, как произведения из сторон, заключающих эти углы. Подобные треугольники и подобные многоугольники относятся как квадраты сходственных боков.

Квадрат, построенный на гипотенузе, равномерен сумме квадратов, построенных на катетах. Многоугольник, построенный на гипотенузе, равномерен сумме многоугольников ему подобных, построенных на катетах, если гипотенуза и катеты представляют сходственные бока этих многоугольников.

Данного многоугольника найти площадь; превратить многоугольник в другой, ему равномерный, но имеющий меньше боков. Построить квадрат, равномерный данному прямоугольнику или данному треугольнику.

Отдел VI.

Правильные многоугольники. Измерение круга.

Правильный многоугольник, вписанный и описанный. Правильные полигоны одного числа углов между собою подобны. Около правильного многоугольника можно всегда описать и в нем вписать окружность. Центр и апофема правильного полигона.

Центральный угол; его величина. Построение правильного подобного полигона описанного, когда имеется правильный полигон вписанный, и наоборот. Переход от правильного полигона, вписанного или описанного к правильному многоугольнику, с двойным числом боков. Выражение через радиус и бок правильного полигона вписанного, боков подобного описанного, а также вписанного с удвоенным числом углов.

Зависимость от радиуса боков правильных: шестиугольника, треугольника, квадрата и десятиугольника. Периметры правильных полигонов, одного числа углов, относятся, как апофемы или как радиусы описанных окружностей, а площади этих фигур, как квадраты названных линий.

Постоянные и переменные величины. Бесконечно малые величины. Их свойства. Предел переменной. Общий признак пропорциональности величин.

Из двух линий выпуклых, по одну сторону прямой, обнимающая длиннее обнимаемой. Окружность больше периметра многоугольника вписанного и меньше периметра многоугольника описанного. Можно вписать в круг правильный многоугольник, которого бок меньше всякой данной линии. Можно в круге вписать и около него описать правильный многоугольник, которого периметр и площадь будут разниться от окружности и площади круга на количество меньше всякой данной величины.

Окружности пропорциональны их радиусам. Отношение окружности к диаметру. Длина окружности. Площадь круга равна половине произведения окружности на радиус. Площади кругов пропорциональны квадратам радиусов. Площадь сектора. Подобные дуги пропорциональны их радиусам. Круг, построенный на гипотенузе, равномерен сумме кругов, построенных на катетах.

Показать возможность вычисления, по приближению, отношения окружности к диаметру. По данному радиусу найти окружность и площадь круга; по данной окружности или по данной площади круга найти радиус. Вычислить длину дуги по данным: числу ее градусов и радиусу.

Геометрия в пространстве. (стереометрия).

Отдел VII.

Прямые линии, рассматриваемые в пространстве и плоскости. Двугранные и многогранные углы.

Плоскость. Условия, определяющие ее положение. Взаимное пересечение двух и трех плоскостей. Перпендикуляры к прямой, в какой ни есть ее точке.

Перпендикуляры к прямой, в какой ни есть ее точке, находятся в одной плоскости. Перпендикуляр к плоскости. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную к ней плоскость, и только одну. Свойство перпендикуляра к плоскости и линий к ней наклонных.

Теорема о трех перпендикулярах. Линия, параллельная перпендикуляру к плоскости, сама к ней перпендикулярна. Из точки вне плоскости можно опустить на последнюю только один перпендикуляр. Перпендикуляры к плоскости все между собою параллельны. Линии, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собою.

Проекции точки и линии на плоскость. Проекция прямой на плоскость есть прямая. Угол, образуемый прямою с плоскостью.

Линия, проведенная параллельно прямой, находящейся в плоскости, нигде не встречает этой плоскости. Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, нигде не встречаются. Две плоскости, между собою параллельные, пересекаются третьей плоскостью по линиям параллельным. Прямая, перпендикулярная к одной из параллельных плоскостей, перпендикулярна ко всем.

Части параллельных линий, отсекаемые двумя параллельными плоскостями, равны между собою. Когда стороны двух углов, лежащих в разных плоскостях, соответственно параллельны, то углы равны между собою, или, взятые вместе, составляют два прямые угла, а плоскости их взаимно параллельны. Части двух прямых, отсекаемые тремя параллельными плоскостями, пропорциональны между собою.

Двугранные углы, ребро, грань, угол наклонения. Равенство и измерение двугранных углов. Свойства двугранных углов, происходящих от пересечения двух параллельных плоскостей какою ни есть плоскостью.

Две плоскости, из которых одна проходит через перпендикуляр к другой, взаимно перпендикулярны. Перпендикуляр к пересечению двух взаимно перпендикулярных плоскостей, проведенный в одной из них, перпендикулярен к другой, и обратно. Плоскость, перпендикулярная к двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна к их сечению. Плоскость, параллельная линии, перпендикулярной к плоскости, сама перпендикулярна к этой последней.

Многогранные углы. Всякий плоский угол выпуклого многогранного угла меньше суммы всех остальных. В многогранном угле, с углами исходящими, сумма всех плоских углов менее четырех прямых. Равенство трехгранных углов.

Руководство и задачник те же, что в предыдущем класс.

VI Класс (2 урока в неделю).

а) Алгебра.

Непрерывные дроби.

Определение непрерывной дроби. Выражение дробного числа непрерывною дробью, пример обращения в непрерывную дробь выражения, содержащего радикал 2-й степени. Сближающиеся дроби (подходящие приближения).

Закон составления сближающихся дробей. Непрерывная дробь заключается между двумя с ряду стоящими сближающимися дробями. Примеры.

Разность между двумя с ряду стоящими сближающимися дробями. Предел погрешности, происшедший от замены непрерывной дроби какою-либо сближающеюся дробью. По данному пределу погрешности найти сходящуюся дробь. Примеры.

Логарифмы.

Определение логарифма как показателя, его основание и знак. Понятие о возможности вычисления логарифмов помощью непрерывных дробей. При всяком основании логарифм единицы равен нулю, а логарифм основания равен единице. При основании большем единицы логарифмы чисел больших единицы - положительные, а чисел меньших единицы - отрицательные.

Логарифм произведения, частного, степени и корня. Примеры.

Система логарифмов при основаны 10 (Бригова). В этой системе логарифмы чисел 10, 100, 1000... суть целые числа. Логарифмы промежуточных целых чисел вычисляются по приближению. Пример: вычислить log 2 с точностью до 0,01. Характеристика и мантисса. Характеристика числа большего единицы. Означение характеристики в случае отрицательного логарифма. Умножение и деление логарифма с отрицательною характеристикою на целое число. Неизменяемость мантиссы от умножения или деления числа на целую степень 10-ти. Нахождение характеристики десятичной дроби.

По данному числу найти по таблицам его логарифм и обратно.

Арифметическое дополнение.

Примеры вычислений по логарифмам.

Прогрессии.

Определение арифметической прогрессии, ее отношение. Прогрессии возрастающие и убывающие. Выражения для общего члена арифметической прогрессии и суммы ее членов. Задачи.

Определение геометрической прогрессии, ее отношение; прогрессия возрастающая и убывающая. Выражение для общего члена и суммы членов геометрической прогрессии. Задачи.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Предел суммы ее членов; приложение к периодической десятичной дроби.

Общие формулы для простых и сложных процентов. Различные задачи, решаемые помощью этих формул. Приложение логарифмов.

Срочные уплаты. Приложение логарифмов к решению задач на срочные уплаты и к решению показательных уравнений.

Бином Ньютона.

Теории соединений: перемещения, переложения (перестановки) и сочетания.

Вывод формулы для возвышения двучлена в степень, при целом и положительном показателе.

Руководство и задачники те же. что в предыдущих классах.

б) Геометрия и приложение алгебры к геометрии (2 урока в неделю).

I. Геометрия.

Отдел VIII.

Многогранники.

Многогранники вообще; грани, ребра и вершины. Простейшие виды многогранников: тетраэдр, пирамида полная и усеченная, призма прямая и наклонная, призма усеченная, параллелепипед, куб или правильный шестигранник. Измерение поверхностей многогранников. Поверхности призмы и пирамиды, включая основания и без основания.

Равенство и подобие многогранников вообще, и в особенности призм и пирамид. Сравнение поверхностей подобных многогранников. Отношение между площадями сечений пирамид плоскостями, параллельными их основаниям.

Объем тела. Отношение объемов прямоугольных параллелепипедов при равных основаниях. Отношение объемов прямоугольных параллелепипедов вообще. Объем прямоугольного параллелепипеда. Равномерность параллелепипедов при равных основаниях и высотах. Объем какого ни есть параллелепипеда. Отношение объемов двух параллелепипедов.

Всякая призма равномерна прямой призме, которой высота равна ребру данной призмы, а основание есть сечение данной призмы, перпендикулярное к ее ребру. Объем треугольной и многогранной призмы. Отношение объемов двух призм и в особенности подобных. Два тетраэдра, имеющие равномерные основания и равные высоты, равномерны между собою.

Разложение треугольной усеченной призмы на три тетраэдра. Объем тетраэдра, объем пирамиды. Объем усеченной треугольной призмы и пирамиды с параллельными основаниями. Отношение объемов двух пирамид, и в особенности подобных.

Показать возможность вычисления объема какого ни есть многогранника; объемы подобных многогранников пропорциональны кубам сходственных ребер. Понятия о правильных многогранниках с исходящими углами.

Отдел IX.

О круглых телах.

Прямой цилиндр. Сечение цилиндра плоскостями, перпендикулярными и параллельными к оси. Конус. Сечение конуса плоскостью, перпендикулярною к его оси, и плоскостью, проходящею через ось. Шар. Сечение шара. Касательная плоскость.

Полная поверхность цилиндра заключается, по величине, между полными поверхностями призм, вписанной и описанной. Боковая поверхность цилиндра есть предел для боковых поверхностей призм вписанной и описанной. Измерение боковой поверхности цилиндра. Отношение между поверхностями цилиндров.

Объем цилиндра есть предел для объемов вписанных и описанных призм. Измерение объемов цилиндров и отношение между ними.

Полная поверхность конуса заключается между полными поверхностями правильных пирамид вписанной и описанной. Боковая поверхность конуса есть предел для боковых поверхностей пирамид. Два вида формул для измерения боковой поверхности конуса. Три вида формул для измерения боковой поверхности усеченного конуса.

Объем конуса есть предел для объемов правильных пирамид вписанных и описанных. Выражение объемов конусов и отношение между ними. Объем усеченного конуса.

Измерение поверхности, вписанной в сегментной поверхности. Сегментная поверхность есть предел для вписанных в нее и описанных около нее поверхностей. Измерения поверхностей сегментной, шара и пояса.

Шаровой сектор. Выражение для объема тела, вписанного в шаровом секторе. Шаровой сектор есть предел для объемов, вписанных и описанных тел. Выражения объемов шарового сектора, шара, сегмента и сегмента о двух основаниях.

Подобие цилиндров и конусов. Отношения поверхностей и объемов шаров. Отношения поверхностей и объемов: шара, цилиндра и конуса, описанных около шара.

Руководство и задачники те же, что в предыдущих классах.

II. Приложение алгебры к геометрии.

Предмет приложения алгебры к геометрии. Выражение протяжений числами. Ход решения геометрических задач помощью алгебры. Примеры:

а) данный треугольник разделить пополам прямою, параллельною основанию;

б) построить прямоугольный треугольник, которого один катет менее другого на линию а и менее гипотенузы на линию b.

Линейные числа и формулы; обзор главнейших геометрических линейных формул. Количества двух измерений; обзор формул, по которым вычисляются площади и поверхности. Количества трех измерений, обзор формул, по которым вычисляются объемы. Количества 4, 5 и более измерений. Числа нулевого измерения.

Однородные одночлены; однородный многочлен. Число измерений алгебраических дробей и радикалов. Однородность уравнений, получаемых при решении геометрических задач; случаи, когда эта однородность кажется нарушенною; восстановление однородности.

Построение формул рациональных и иррациональных. Построение корней квадратного уравнения. Упражнения.

Построение формул, содержащих тригонометрические величины.

Задачи для приложения приемов построения формул и для исследования вопросов.

Руководство. Приложение алгебры к геометрии, Фролова, ч. I.

в) Тригонометрия (2 урока в неделю).

Отдел I.

Предмет тригонометрии. Определения и первоначальные свойства тригонометрических величин.

Предмет тригонометрии. Определения и означения синуса, тангенса, секанса, косинуса, котангенса, косеканса. Условия относительно знаков и для дуг и тригонометрических величин. Начало дуг дополнительных до 90°.

Изменение синуса с изменением угла от 0° до 360°. Зависимость между синусом угла и хордою, соответствующею двойному углу. Синус 30°, 45°, 60° и 18°.

Изменения тангенса, секанса, косинуса, котангенса и косеканса с изменением угла от 0° до 360°.

Тригонометрические величины отрицательных углов и углов взаимно дополнительных до 180°.

Тригонометрические величины дуг, разнящихся на 180° и на 360°. Приведение тригонометрических величин к первой четверти.

Зависимость между тригонометрическими величинами одного и того же угла. Задачи на этот отдел.

Отдел II.

Зависимость между тригонометрическими величинами различных углов.

Вывод формул для определения синуса и косинуса суммы и разности двух углов в зависимости от синусов и косинусов этих углов.

Тангенс и котангенс суммы и разности двух углов в зависимости от тангенсов и котангенсов этих углов. Синус, косинус и котангенс двойного угла и половинного угла.

Сумма и разность синусов и косинусов двух углов; отношения между ними. Приведение формул вида a + b к виду, удобному для логарифмирования. Задачи на этот отдел.

Отдел III.

Тригонометрическая таблицы.

Длина дуги, служащая мерою острого угла, заключается между синусом и тангенсом этого угла. Разность между длиною дуги, соответствующей острому углу, и его синусом менее четвертой части куба этой дуги.

Вычисление Sin 10" и Cos 10". Для составления тригонометрических таблиц можно ограничиться вычислением синуса и косинуса углов от 0 до 30°.

Таблицы логарифмов тригонометрических величин. Замена отрицательных логарифмов их арифметическими дополнениями. Расположение тригонометрических таблиц. Табличные разности углов, при известных условиях, принимаются пропорциональными соответствующими разностям логарифмов тригонометрических величин.

По данному углу найти по таблицам логарифмы тригонометрических величин.

По данному логарифму тригонометрической величины найти угол. Примеры и задачи на этот отдел.

Отдел IV.

Зависимость между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.

Зависимость между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Решение прямоугольных треугольников. Задачи.

Отношения сторон всякого треугольника к синусам противолежащих углов. Отношение суммы и разности двух сторон всякого треугольника в зависимости от тангенсов полусуммы и полуразности противолежащих углов.

Выражение косинуса угла, а также тангенса половинного угла треугольника помощью сторон его.

Решить треугольник:

а) По стороне и двум углам.

б) По двум сторонам и углу, лежащему против большей стороны.

в) По двум сторонам и углу, лежащему против меньшей стороны.

г) По двум сторонам и углу между ними.

д) По трем сторонам.

Задачи.

Вычислить площадь треугольника:

а) По двум сторонам и углу между ними.

б) По стороне и углам треугольника.

в) По двум сторонам и углу, противолежащему одной из них.

г) По трем сторонам.

Задачи.

Отдел V.

Приложение решения треугольников к решению практических задач.

Понятие об измерении линий и углов на местности. Измерить высоту доступного предмета. Найти высоту недоступного предмета.

Найти расстояние между двумя предметами, не допускающими непосредственного измерения:

а) когда один предмет недоступен.

б) когда оба предмета недоступны.

Разделить на две равные части угол с недоступною вершиною.

Руководство. Тригонометрия Ф. Симашко

VII Класс.

I. Аналитическая геометрия (2 урока в неделю).

Введение.

Понятие о геометрических местах. Определение положения точки на плоскости помощью прямоугольных координат; уравнения точки. Место двух каких ни есть совокупных уравнений с двумя неизвестными. Расстояние между двумя точками.

Определение положения линии на плоскости; уравнение линии. Две основные задачи. Построение линии по ее уравнению. Определение точек пересечения данных линий между собою и с осями. Классы и порядки линий. Предмет аналитической геометрии.

Прямая линия.

Задание положения прямой относительно координатных осей. Вывод ее уравнения. Начальная ордината; угловой коэффициент. Исследование уравнения прямой. Все линии первого порядка суть прямые. Построение прямой, заданной уравнением.

Задачи, относящаяся к прямой линии:

а) Составить уравнение прямой, отсекающей данные отрезки от осей координат.

б) Составить уравнение прямой, находящейся в данном расстоянии от начала и составляющей данный угол с осью X-ов.

в) Состав, уравнение прямой, проходящей через данную точку.

г) Составить уравнение прямой, проходящей через данную точку и составляющей данный угол с осью.

д) Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

е) Найти точку пересечения двух данных прямых.

ж) Определить угол, составляемый двумя данными прямыми; условия их перпендикулярности и параллельности.

з) Составить уравнение прямой, проходящей через данную точку и параллельную или перпендикулярную к данной прямой.

и) Вычислить расстояние от данной точки до данной прямой.

Окружность.

Уравнение окружности; виды его при различном положены центра.

Задачи:

а) По данному уравнению окружности, найти ее центр и радиус.

б) Определить точки пересечения данной окружности с данною прямою.

в) Определить точки пересечения двух данных окружностей.

Эллипс.

Определение; фокусы, радиусы-векторы. Уравнение эллипса и исследование его фигуры по этому уравнению. Пересечение эллипса с прямою. Вершины и оси. Центр, эксцентриситет и параметр эллипса. Вычисление полуосей по уравнению эллипса. Построение эллипса по точкам и непрерывным движением.

Гипербола.

Определение; фокусы, радиусы-векторы. Уравнение гиперболы и исследование ее фигуры по этому уравнению. Пересечение гиперболы с прямой. Вершины и оси. Центр, эксцентриситет и параметр гиперболы. Вычисление полуосей гиперболы по ее уравнению. Построение гиперболы по точкам и непрерывным движением. Асимптоты гиперболы.

Парабола.

Определение; фокус, директриса и радиус-вектор. Уравнение параболы и исследование ее фигуры по этому уравнению. Ось и вершина параболы. Пересечение параболы с прямою. Вычисление фокусного расстояния. Параметр параболы. Построение параболы по точкам и непрерывным движением.

Преобразование координат.

Преобразование уравнения линии:

а) через перенесение начала и

б) через перемену направления осей.

Общее исследование кривых второго порядка.

Три теоремы, служащая основанием для исследования вида кривой и ее расположения относительно осей координат. Общий вид уравнений кривых второго порядка. Разыскание центра кривых второго порядка и разделение их на кривые с центром и кривые без центра. Задачи.

Разыскание осей кривых с центром. Два вида кривых с центром: эллипс и гипербола.

Разыскание оси кривой, не имеющей центра; парабола есть единственный вид такой кривой.

Обзор предыдущих исследований.

Разыскание фокусов и радиусов-векторов кривых второго порядка. Директрисы кривых второго порядка.

Касательные и нормальные.

Определения касательной и нормальной. Вывод уравнения касательной к кривой второго порядка. Расстояния, на которых касательные к эллипсу, гиперболе и параболе встречают оси этих кривых. Подкасательная и поднормальная.

Свойство углов, составляемых касательными к эллипсу, гиперболе и параболе с радиусами-векторами, проведенными в точку касания. Построение касательных к эллипсу, гиперболе и параболе. Задачи.

Руководство. Приложение алгебры к геометрии и начала аналитической геометрии А. Фролова.

II. Повторение математики (4 урока в неделю).

Повторение производится по учебникам предыдущих классов, причем обращается особое внимание:

а) в арифметике - на статьи о делимости чисел, общий наибольший делитель и свойства простых чисел, причем рассуждения можно вести над общими числами;

б) в алгебре - на навык в преобразовали формул, на применение уравнений и в особенности на вычисление по логарифмам;

в) в геометрии - на усвоение теорем для измерения площадей и объемов;

г) в тригонометрии - на решение треугольников и на правильное употребление таблиц.