IV. Математика.

Цель математики, как учебного предмета общеобразовательного курса, двоякая: образовательно-воспитательная и практическая.

 

Образовательно-воспитательная цель математики заключается:

1) В ознакомлении учеников с общим научным методом с точки зрения установления основных понятия, построения системы определении, развития отчетливой и непрерывной дедукции и пользования символами, как средствами обобщения (средние и старшие классы).

2) В никотором приучении учеников к индуктивному методу (младшие классы).

3) В привития ученикам способности к точности, строгости и доказательности суждении с логической стороны (воспитание суждения).

4) В приучении воспитанников к точному и краткому устному и письменному выражение своих мыслей.

5) В развитии функционального мышления, устанавливающего зависимость одного явления от другого, с умением оценить количественную сторону простейших явлений, изучаемых в области физики, химии, космографии, артиллерии и пр.

6) В некотором развитии воображения (пространственная интуиция).

7) В развития навыков - считаться с условиями вопроса, с границами, в которые он поставлен, с данными, имеющимися для его решения, с предыдущими связями его и пр. Изучение математики должно привести к приобретении способности думать покойно, самостоятельно и правильно, к осторожности в суждениях, к точной постановке вопросов, к расчленению их на части, к сдержанности в обобщениях, к постоянному самоконтролю, к уважению истины; вместе с тем оно должно способствовать развитию воображения учащихся, приучать их к напряженному вниманию и к укоренению привычек изящества и аккуратности.

 

Для достижения этих целей математика, как учебный предмет, должна удовлетворять следующим требованиям:

1) Курс должен быть возможно систематический и обоснованный.

2) Распределение и обработка материала должны соответствовать психологическим особенностям каждого возраста, при чем в младших классах на первый план выступают наглядность и осязательность приемов обучения, а в старших - точность, строгость и изящество выводов.

3) При разработка учебного материала в классе первостепенное значение должна иметь самостоятельная работа учеников.

 

Практическая цель сводится к приобретению воспитанниками известной суммы математических представлений, понятий, знаний, навыков, умений и интересов, необходимых всякому образованному человеку вообще и будущему офицеру в частности. При этом г. г. преподавателям следует проникнуться тем, всеми в настоящее время признанным положением, что общеобразовательный курс математики вполне соответствует силам среднего ученика и что так называемые «неспособные к математике» представляют крайне редкое исключение. В большинстве случаев предполагаемая неспособность объясняется пробелами в предыдущих знаниях, плохою работоспособностью, медленностью соображения и пр.

Что касается умений и навыков, то они сводятся к следующим:

1) Сознательное, быстрое и возможно изящное производство арифметических, алгебраических, геометрических и тригонометрических вычислений. При этом письменные и устные арифметические вычисления должны практиковаться на всем пространстве курса кадетских корпусов.

2) Составление уравнении из условий задач (пункт этот, конечно заключается в предыдущем, но выставляется на вид вследствие его важности).

3) Решение простейших задач на построение, главным образом, на основании геометрических мест и метода подобия.

4) Исследование изменения хода функции при помощи производной. Применение сведений, приобретенных относительно производной, к решению простейших вопросов из области геометрии, механики, физики и техники.

Порядок усвоения нового материала должен быть такой, при котором новые представления и понятия основываются на восприятиях, непосредственно получаемых от изучаемых предметов. При этом внимание учащего должно быть обращено не только на зрительные, но также, где это возможно, на слуховые, мускульные и осязательные восприятия учащихся. В высшей степени желательно, чтобы на всех ступенях обучения метод преподавания имел характер по преимуществу генетический (см. например, Демков. Курс педагогики, стр. 150). Ученикам не следует давать готовых выводов, а наоборот, посредством правильной клас­сной работы их надо подводить к самостоятельному открытию и обоснованию математических зависимостей.

При эротематической (эвристической) форме обучения правильная и целесообразная постановка вопросов имеет громадное значение, ибо вопросы эти являются теми ступеньками, по которым самодеятельная мысль учащихся находить решение задачи или способ доказательства теоремы.

Часто очень бойко проведенный по вопросной форме урок не имеет никакой действительной ценности, потому что игнорирует самостоятельную работу учащихся и преследует только внешнюю оживленность и фискальные цели. С этой точки зрения вдумчивая под­готовка к уроку является делом большой педагогической важности.

Всякий урок математики должен представлять для учеников живой внутренний интерес и быть непременно уроком верного суждения и правильного, точного языка (Простота, ясность и точность математического языка делают его превосходным, но еще мало использованным средством обучения правильному письменному и устному выражению мыслей). Высшим мерилом интереса надо признать самодеятельность учащихся.

При изучении материала, составляющего содержание того или другого отдела, должны работать не только разумение, суждение и память учеников, но также их творческое воображение и воля. (Об этом подробнее см. „Методы перв. обучения". Изд. „Педогог. академии").

Примеры, освещающие данный математический вопрос, надо брать из разных отделов курса математики совершенно независимо от того, какому ее отделу следует посвятить тот или другой урок по расписанию. Чем разнообразнее те точки зрения, с которых рассматривается данный вопрос, тем основательнее и многостороннее он будет освещен для учеников. Геометрические иллюстрации могут принести большую пользу в курсах арифметики и алгебры (квадрат суммы и разности, уравнения, прогрессии и пр. и пр).

Из курса математики ученики должны научиться строго различать и понимать смысл аксиомы, теоремы, соглашения, определения, правила, обобщения действия, преобразования и условного обозначения. Вообще основные логические построения и понятия превосходно иллюстрируются на   математическом материале, и эта сторона математики должна быть использована г.г. преподавателями.

Истории математики, разумеется, нет места в средней школе, но исторические иллюстрации некоторых вопросов (квадратура круга, удвоение куба, трисекция угла, уравнения, производная) могут чрезвычайно оживить обучение и возбудить интерес учащихся.

Задачи, служащие для упражнения в вычислении, следует брать из областей, вполне доступных разумению учеников и относящихся до вопросов, представляющих важность либо в научном, либо в практическом отношении. Так, например, для логарифмических вычислении можно предлагать определение, по достаточным для того данным, веса бревна известной формы, определение теплоемкости какого-либо вещества, числа членов геометрической прогрессии и т. п.

Принимая во внимание специальное назначение кадетских корпусов, полезно в число задач на вычисление включать и такие вопросы, которые близко соприкасаются с бытом кадет, а равно с предстоящею им службою в войсках. Полезно знакомить учеников и с некоторыми математическими парадоксами, извлекая из них необходимость строгости логического рассуждения, точного определения объектов, правильного анализа фигур и пр.

В соответственных местах курса того или другого отдела математики, во время уроков, полезно упражнять всех учеников за раз в письменном решении задач. Цель такого рода упражнений должна состоять не столько в поверке знаний учеников, сколько в приучении их к вполне самостоятельной работе. Вместе с тем указанные упражнения могут служить учителю хорошим средством для оценки того, что им достигнуто, насколько ученики овладели изученным ими учебным материалом, и показателем того, какие статьи курса нуждаются в повторных или дополнительных упражнениях. Упражнения эти полезны также в смысле подготовки к выполнению проверочных письменных работ.

С большою пользою могут быть также применены краткие письменные ответы по теории (летучки), по поводу которых сделаны все указания в соответствующих предписаниях Главного Управления. На приучение кадет к таким работам придется затратить известное время, которое потом многократно окупится скоростью опроса и выяснением истинной картины знаний учеников.

Весьма полезно при пользовании летучками указать ученикам разного рода сокращенные обозначения, например:

ɑ/k . . .  ɑ есть делитель k

(a,b) . . . общий наиб. делитель а и b

0 . . . основание для заключения

При этих обозначениях известная теорема о том, что всякое число, которое делит произведение двух множителей и первое с одним из них, разделить другого множителя, может быть формулирована и доказана так:

Теорема:  Если а/bс и (а,b)=1, то а/с

Доказательство

1)      Из (а,b)=1:

(аc,bc)=c

{

0

Если два числа умножить на третье, то их общий наибольший делитель умножится на это третье число

2)      а/ac

{

0

ac  кратное  a

3)      а/bc

 

дано

Cледовательно: а/c

ч.и.т.д

{

0

Всякий общий делитель двух чисел делит общего наибольшего делителя этих чисел

 

По отношению к вопросу о пользовании учебником, кроме тех разъяснений, какие даны в объяснительных записках к программам отдельных предметов математического курса кадетских корпусов, здесь признается необходимым дать следующее общее указание: в старших, а отчасти и в средних классах, некоторые части учебника могут быть предлагаемы ученикам для самостоятельного изучения. Таковы, например,

в алгебре - часть теории прогрессии, теоремы о свойствах логарифмов и т. п.;

в геометрии - некоторые теоремы о подобии и о правильных многоугольниках и т. п.;

в тригонометрии - теоремы о зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же угла, теоремы о площадях треугольников в различных случаях и т. п.

Вообще наиболее удобны для этой цели статьи содержащие в себе достаточно фактического материала и свободные от слишком тонких и, без помощи учителя, недоступных ученикам математических идей.

Со свойственною многим интернатам привычкою учеников учить уроки со слов товарищей надо бороться всеми мерами.

Преподаватели и воспитатели должны внушать кадетам безусловную необходимость и великую пользу самостоятельных занятий математикой. Помощь воспитателя должна ограничиваться разъяснением только непонятого пункта, а отнюдь не всего урока или даже части его.

Воспитатель, берущий на себя во время вечерних занятия роль учителя, совершает грубую педагогическую ошибку, обусловленную, конечно, ненормальным положением классного обучения.

В случае проявления у некоторых учеников средних и старших классов особенного интереса к математике, можно им указать для самостоятельного изучения те или иные классические или учебные сочинения по различным отделам элементарной математики. Возбуждение такого интереса должно составлять предмет горячих желаний всех преподавателей математики.

Так называемое «повторение курсов» не должно быть отождествляемо с «протверживанием задов». Цель повторения заключается, главным образом, в систематизации и обобщении изученного материала и в выделении из него основных положений. Следовательно, повторение в большинстве случаев имеет избирательный, а не сплошной характер, и успех его основывается не столько на заданиях, сколько на продуктивной классной работе.

 

Арифметика

Результат обучения арифметике в трех младших классах должен выразиться:

1) В умении учеников быстро, изящно, и верно, как изустно, так и письменно, производить четыре действия над целыми и дробными числами.

2) Во вполне сознательном отношении их ко всем арифметическим действиям.

При несложности курсе арифметики трех младших классов можно и должно требовать, чтобы ученики на всех ступенях обучения умели расчленить сложный процесс производства действия и могли дать вполне отчетливое объяснение отдельных звеньев его.

3) В некотором запросе и навыке со стороны учащихся к логическому расчленение вопроса, к простому, точному и доказательному изложению своих мыслей.

Частные замечания по курсу арифметики трех младших классов сводятся к следующим:

1) Статью об именованных числах лучше проходить в связи с числами отвлеченными, не выделяя ее, как особую. Во всяком случае некоторые задачи на именованные числа следует отнести к началу курса.

2) Отдельное учение об изменении результатов действий не должно иметь места в курсе. То же относится и к поверке действий.

Соответствующие соображения развиваются только при решении задач.

3) На усвоение пропедевтического курса дробей (1-й кл.) должно быть обращено особое внимание. Оперировать со сложными дробями здесь не следует. При разработке этого отдела весьма полезно пользоваться задачником Гольденберга.

4) Сложное и неверное определение умножения, как действия, имеющего целью составить произведение из множимого так, как множитель составлен из единицы, должно быть решительно устранено. Совершенно достаточно, если ученик знает, что умножить 6 на 3/4, значить найти 3/4 шести. Разумеется, и к этому определению надо подойти методически.

5) Деление по содержанию надо строго отличать от деления на равные части.

6) Введенные в программу элементы приближенного вычисления не требуют заучивания каких либо правил, а основываются исключительно на живом соображении учеников. Сложных примеров в этой области следует избегать.

7) Подбор арифметических задач, решаемых на уроках или вне класса, должен удовлетворять условиям методической постепенности, интереса и практичности. Очень сложных выкладок и «многоэтажных» задач допускать не следует.

8) Заучивание сложных правил, относящихся к нумерации, к производству действий над целыми чи­слами и пр., не должно практиковаться, как совершенно бесполезное и даже вредное.

9) К тексту учебника арифметики ученики младших классов обращаются только после того, как ими вполне понято объяснение учителя. Во всяком случае, пользование учебником арифметики в I-м классе совершенно неуместно, и к нему можно перейти только во II-м классе после предварительного разбора текста в классе.

В I-м классе в виду отсутствия учебника полезно после объяснения урока наметить те основные вопросы, которые относятся к разработанному материалу.

Например.

Умножение 272 на 10

Что получится, если единицу умножим на десять.

Что получится, если 272 единицы умножим на десять.

Как записать число, содержащее 272 десятка.

Умножение 248 на 20

 

248+248=248х2=496;

496+496+ … +496=496х10

496х10 (см.выше)=4960

 

 Дополнительные статьи арифметики, подлежащие изучению в VII-м классе, имеют целью обоснование и дополнение элементарного курса арифметики младших классов.

 

Алгебра

Курс  приготовительный.

Приготовительный курс алгебры стремится к достижению следующих целей:

1)    Ознакомление с идеей общего числа и с употреблением букв для получения общих ответов задач.

2)    Усвоение элементов алгебраического знакоположения и приобретение некоторого навыка в производстве действий под буквенными выражениями.

3)    Решение простейших уравнении первой степени с одним неизвестным (надо  выбирать  такие примеры, где механизм решения уравнения достаточно прост).

Хотя приготовительный курс алгебры, отнесен к III-му классу, но несомненно, что ознакомление с идеей общего числа и с применением его к решению задач и к записи известных формул может быть сделано и ранее. Сами учащиеся нередко прибегают к разным искусственным сокращениям для записи формул, и преподаватель может пойти им на встречу и отчасти использовать элементы буквенного обозначения во II-м классе (хотя это не считается обязательным). В третьем классе нет основания ожидать конца года для перехода к пропедевтике алгебры: буквенные обозначения должны применяться на пространстве целого года, начинаясь при повторении арифметики с записи известных тождеств a+b=b+a; ab=ba и пр. Параллельно следует решать задачи с буквенными данными, применяя в необходимых случаях уравнения. В пропедевтическом курсе строгая система не имеет значения: надо стремиться к тому, чтобы на пространстве целого года арифметический материал ставился в связь с алгебраическим и использовался наиболее производительно.

 

Курс   систематический.

В курсе IV-го класса наибольшее затруднение вызывают статьи об отрицательных числах и поэтому здесь, в области представления отрицательных чисел и сложения их, преподавателю следует прибегнуть к геометрическим иллюстрациям.

В значительной степени механический, курс IV-гo класса не следует еще более загромождать сложными переделками, относящимися к разложению на множители и к действиям с многочленными дробями. Для оживления дела на пространстве всего IV-гo класса полезно решать задачи на составление уравнений, пользуясь теми умениями, которые приобретены в III-м классе.

Теоремы о равносильности уравнении здесь не доказываются, достаточно, чтобы ученики выяснили себе понятие о равнозначащих уравнениях и о посторонних решениях.

Курс V-го класса начинается с теорем о равносильности уравнении и решения систем, а затем преподаватель должен перейти к установлению функциональной зависимости. План разработки этого отдела довольно детально указан в программе и осуществлен в русских учебниках Лебединцева, Глаголева и Киселева (графическое изображение функций). Погрешности некоторых из этих учебников состоят в излишней детализации исследования, относящегося к построению графиков функций у=ах2+bx+с. Весь объем требовании, сюда относящихся, должен заключаться в том, чтобы учащиеся могли построить график любой функ­ций вида у=ах2+bx+с с заданными числовыми коэффициентами, и вовсе не нужно доказывать однотипность всех кривых, выражаемых уравнением у=ах2+bx+с; все они объединяются общностью определяющего их уравнения.

Здесь вообще уместно обратить внимание на важность функциональной зависимости, которая должна красной нитью проходить через весь курс кадетских корпусов.

Сколько-нибудь сложные соображения об иррациональных числах не соответствуют силам и развитию учеников V-го класса, поэтому надо только отчетливо указать новый род чисел и ограничиться теми разъяснениями, которые приведены в учебнике алгебры Киселева (новые издания).

В VI-м классе работа начинается с исследования алгебраических и геометрических задач с буквенными данными. Исследованию подлежат: возможность решения, число решений, истолкование некоторых результатов и пр. Попутно выясняется смысл символов: 0/0, a/0, ∞

Очень сложных примеров на исследование следует избегать, ведя работу на методически подобранном ряде нетрудных задач. В результате каждый ученик должен приобрести умение самостоятельно исследовать несложный вопрос. Элементы исследования должны непременно войти в письменные экзаменные испытания VI-го и VII-го классов.

Повторение статьи о пределах имеет в виду закрепление в сознании учащихся и применение (с тою же целью) к решении разного рода задач. Здесь с полным успехом и без всякого затруднения могут решаться задачи в роде следующих:

 

 Геометрическая прогрессия доставит затем новый пример разыскания предела суммы членов ряда.

Статье о логарифмах предпослана общая теория показателей.

Повторительный курс алгебры в VII-м классе обнимает собою теорию уравнения, в которой должно сделать некоторые развития относительно числа корней уравнения, разложения целой функции на множители и зависимости между корнями уравнения и его коэффициентами.

 

Геометрия

 Курс  приготовительный.

Цель приготовительного курса геометрии заключается:

1) В ознакомлении учеников с геометрическими объектами и с основными свойствами их.

2) В приучении детей к наблюдению простых геометрических форм и соотношении между ними; в развитии пространственного воображения.

Прежде чем приступать к изучению систематического курса геометрии, ученики должны приобрести известный запас наглядных геометрических представлений и умение непосредственно усмотреть простейшие геометрические зависимости. Систематический курс геометрии, выдвигающий на первый план строгий логический аппарат, в значительной степени игнорирует вышеуказанные цели. Поэтому научному систематическому изложению геометрии должен предшествовать особый приготовительный курс, построенный на наблюдении, измерении и эксперименте.

Программа настоящего курса построена по книге Астряба «Наглядная геометрия», которая является для преподавателя основным руководством. Превосходные методические указания можно найти в книге Трейтлейна «Методика геометрии». Внимательное и тщательное изучение этого сочинении окажет преподавателю начального курса геометрии неоценимые услуги.

К тем указаниям, который даны в книге Астряба необходимо прибавить следующее:

1) От учащихся необходимо требовать тщательного исполнения чертежей (с помощью инструментов(на не графленой бумаге), так как курс в значительной степени построен на черчении; поэтому черчению надо учить.

2) В начале пропедевтического курса геометрии на «ознакомлении с простыми геометрическими телами» останавливаться слишком долго не следует, ибо это ознакомление, главным образом, имеет в виду получение основных отправных точек, но зато впоследствии, при некотором накоплении геометрического материала, необходимо постоянно обращаться к пространственным образам, извлекая из них материал для развития пространственного представления; сюда относятся разного рода свечения тел плоскостями, разложения их на другие тела, сложения и пр.

3) Необходимо иметь вполне достаточное количество всех указанных  в  курсе пособий, моделей,  удовлетворительных чертежных принадлежностей (см. перечень у Астряба).

4) Задачи на местности не включены в программу (см. Астряб), но возможное использование их крайне желательно.

5) Лепка тел, клейка их моделей не являются строго обязательными при наличности достаточного количества моделей.

6) Первая часть книги Астряба, предназначенная для приготовительного класса, изучению не подлежит, но 3-4 урока все-таки надо посвятить ознакомлению с телами. Статья о подобии фигур,  отсутствующая в книге Астряба может быть разработана по Кемпбелю (Наглядная геометрия).

7) Выводной элемент в приготовительном курсе геометрии должен вводиться с надлежащею осторож­ностью, по мере развития естественных запросов детей, выражающихся в желании получить некоторые обоснования сделанных ими наблюдении и выводов. Интерес к этим обоснованиям при недостаточности эксперимента должен послужить отправной точкой для изучения систематического курса геометрии.

8) Метод изучения должен быть принят такой, при котором те или другие свойства не навязываются ученикам, а открываются ими по возможности само­стоятельно. „Учитель является только руководителем, указывающим ученику на то, что он должен искать; он наводит его на след".

9) Разбирать все те мелкие вопросы, которые намечены у Астряба, необязательно: необходимо   проделать столько упражнений, сколько нужно для овладения изучаемым понятием или свойством.

10) Никаких „заданий" на вечерние занятия по геомет­рии не должно быть: вся работа падает на классное время.

11) Общая задача пропедевтического курса геометрии может быть формулирована так: „Наглядное обучение геометрии опирается на рассмотрение тел выводит отсюда различные геометрические образы, преобразовывает их и образует новые, возбуждает самодеятельность ученика при помощи экспе­римента, развивает внутреннее созерцание и пространственные представления и ведет постепенно от наглядного познания к доказательству, обоснованию познанного" (Трейтлейн).

На пороге систематического курса геометрии учащиеся должны быть приведены к убеждению, что эксперимент дает возможность предугадать истину, но недостаточен еще для точного ее познания.

Курс  систематический.

Из систематического курса геометрии исключены все те второстепенные теоремы, которые не связаны не­прерывной цепью дедукции. Это сокращение материала должно быть использовано в отношении более прочного усвоения курса, решения задач на построение, развития пространственного воображения и практического применения законов формальной логики. Геометрия более чем какой-либо другой учебный предмет может развить у учащихся запрос и вкус к доказательству, приучить к последовательности, строгости, точности и краткости в выражении своих мыслей.

На связь и порядок теорем необходимо указывать постоянно и добиваться, чтобы ученики сознательно отно­сились к порядку теорем в каждом отделе и к порядку самых отделов.

В частности относительно курса геометрии необходимо сделать следующие замечания:

1) На первой ступени обучения в IV-м классе могут быть выпущены самоочевидные теоремы, затрудняющие учащихся. К ним можно возвратиться впоследствии.

2) Все помещенные в курсе задачи на построение должны быть тщательно зачерчены в тетрадях с помощью циркуля и линейки.

3) Функциональная зависимость геометрических величин друг от друга везде должна подвергаться полному обследованию. Например, при определении площади квадрата нельзя ограничиться выводом, что площадь квадрата равна квадрату его стороны, а надо добиться ясного представления о том, как изменяется площадь квадрата при изменении его стороны, построить таблицу, график и пр.

4) Введение в курс геометрии тригонометрических понятий должно содействовать уяснению зависимости между элементами треугольника и служить некоторой подготовкой к изучению тригонометрии.

5) Статья о пределах в курсе V-го класса должна быть освещена не только геометрическими, но и алгебраическими примерами:

6) При изучении стереометрических теорем полезно ставить их в связь с соответствующими теоремами из планиметрии.

7) При выводе теорем об отношении объемов подобных многогранников можно ограничиться призмой и пирамидой.

8) Задачи на вычисление следует предпочитать такие, где требуются от решающего чисто геометрические соображения (Задачи для развития пространственного представления преподаватель может найти в книге Дзыка „Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел". Одесса 1914 г. ц. 75 коп). В большинства случаев формула должна быть   получена сначала в общем виде (на буквах), исследована и рассмотрена со стороны функциональной зависимости. При окончательном вычислении желательно (если это возможно) произвести оценку погрешности результата. В VI-м и VII-м классах надо решать задачи, требующие применения тригонометрии.

9) Решение задач на построение должно производиться на всем пространстве курса геометрии и состоять из четырех частей:

1) анализа,

2) построения,

3) доказательства,

4) исследования.

Задаваться широкими целями в этой области, конечно, нельзя, но добиться некоторых умений в отношении комбинирования геометрических данных, применения метода геометрических мест и подобия можно и должно для всей массы учащихся.

10) Теоретическая часть, относящаяся к алгебраическому методу решения геометрических задач (прилож. алг. к геометрии), сокращена. Взамен ее следует выдвинуть самостоятельное решение и исследование учащимися несложных задач, допускающих применение этого метода.

11) Повторение геометрии в VII-м классе производится на определенном геометрическом материала, разгруппированном на указанные в программе отделы, причем должно быть обращено особое внимание на ло­гическую сторону и на построение общей системы курса (см. циркулярное предписание Главного Управления от 26 октября 1910 года за № 23153).

 

Тригонометрия

Курс тригонометрии поставлен на почву изучения тригонометрических функции и применения их к решению треугольников и геометрических задач вообще. Следовательно функциональная зависимость и здесь должна быть выдвинута на первый план и сопровождаться графическими иллюстрациями.

Учебный курс тригонометрии дает яркий и поучительный пример изучения группы функций, и поэтому на систему изложения материала следует обратить особое внимание учащихся.

Очень сложных вычислений при решении треугольников следует избегать и пользоваться только пятизначными или четырехзначными таблицами логарифмов.

Решению тригонометрических уравнении должно быть уделено должное внимание.

 

Аналитическая геометрия

В виду недостатка времени из курса аналитической геометрии исключено общее исследование кривых второго порядка. Остающийся материал, при той подготовке, которая обусловливается работой предыдущих классов по исследованию общей функциональной зависимости, не может представить никаких затруднении и должен быть усвоен вполне отчетливо. В частности рекомендуется обратить особое внимание:

1) на систему величин, определяющих положение точки, поставив этот вопрос в связь с небесными координатами, известными ученикам из курса космографии;

2) на построение кривых по их уравнениям;

3) на составление уравнении простейших геометрических мест.

Изучение аналитической геометрии должно привести учащихся к убеждению в возможности выражения всех различных мыслимых геометрических феноменов посредством аналитических соотношении и к замене геометрических рассмотрений эквивалентными аналитическими и обратно.

Основания анализа

Совершенно неуместно называть этот отдел высшей математикой, никаких элементов которой он в себе не заключает.

Такое название только запугивает учащихся.

По поводу этого отдела признается необходимым сделать следующие указания:

1) Не следует излишне детализировать теории пределов и непрерывность функции. Здесь  достаточно добиться отчетливых понятий, поясняя их цель рядом хорошо подобранных примеров.

2) Не следует удалять много времени и внимания технике разыскания производных.

3) Признаки возрастания и убывания функции и теоремы, относящиеся к определении max. u min. функции, могут и должны быть проведены с полною отчетливостью.

4) Наибольшее внимание должно быть  обращено на исследование изменений функции.

5) В общем отдел этот обладает значительною гибкостью, которая позволяет преподавателю сузить или расширить его в зависимости от сил класса.

При этом необходимо иметь в виду, что изучение анализа является одним из лучших средств для повторения и закрепления основных математических понятий и навыков. Успех изучения этого отдела всецело основан на полном овладении основными его понятиями. поэтому не надо бояться затрат относительно значительного времени на первые шаги в анализе: оно потом окупится многократно. Изучение анализа должно привести учащихся к сознанию, что учение о производной является простым и могущественным средством для обследования функциональной зависимости в области науки, техники и вообще познания природы.

 

Распределение курса математики по классам

 

Приемные требования от поступающих в I класс.

Изустные вычисления над числами первой сотни.

Устное решение задач в пределах первой сотни.

Таблица умножения.

Нумерация чисел меньших одного миллиона.

Сознательное выполнение  четырех действий над трехзначными и четырехзначными числами - письменно, причем множитель и делитель не превышают ста. Письменное решение задач в тех же пределах относительно чисел, какие указаны для производства действий.

Методическими пособиями для лиц, приготовляющих малолетних к приемному испытанию, могут служить:

А. Гольденберг. Методика начальной арифметики. Его же. Сборник задач и примеров для обучения начальной арифметике (вып. I и II-й), или

К. Аржеников. Методика начальной арифметики. Его же. Сборник арифметических задач и примеров для начальных народных училищ. Год первый. Год второй. Год третий.

 

I КЛАСС

Арифметика. 4 урока в неделю

Нумерация. Четыре действия над целыми отвлеченными и составными именованными числами. Первоначальные понятия о дробях. Понятие о долях единицы и числа.

Дробь. Дроби правильные и неправильные. Обращение смешанного числа в неправильную дробь и исключение целого числа из неправильной дроби. Уменьшение и увеличение дроби в несколько раз. Выражение одной и той же дроби в различных долях и сокращение дробей. Нахождение частей целого числа и целого числа по известным частям его. Сложение и вычитание дробей с не­большими знаменателями. Приложение к решению задач.

Задачники:

А. Гольденберг. Собрание арифметических упражнений для гимназии и реальных училищ. Курс первого и второго классов.

С. Шохор-Троцкий. Арифметический задачник для учеников. Вып. II (для учебных заведений с полным курсом арифметики).

Н. Шапошников и Н. Вальцов. Сборник арифметических задач.

В. Евтушевский. Сборник арифметических задач и численных примеров (I и II-я части).

 

II КЛАСС

а) Арифметика. 4 урока в неделю

Четыре действия над обыкновенными дробями с необходимыми для сокращения дробей и для приведения их к общему знаменателю познаниями:

1) о признаках делимости чисел на 10, 5 и 2, на 100, 4 и 25, на 9 и 3;

2) о разложении чисел на простые множители и

3) о наименьшем кратном двух и нескольких чисел.

Четыре действия над десятичными дробями. Метрическая система мер и весов. Приближенное значение конечного десятичного числа до единицы какого-либо разряда; при­ближенное значение частного. Понятие о десятичной периодической дроби и условие обратимости обыкновенных дробей в конечные и бесконечные десятичные дроби.

Руководства:

А. Киселев. Систематический курс арифметики

Ф. Симашко. Арифметика. Задачники те же, что и в 1-м классе.

 б) Геометрия. 1 урок в неделю

Ознакомление с простыми геометрическими телами: куб, призма, пирамида, цилиндр, конус, шар. Поверхности. Линии. Точки.

Прямая линия. Измерение прямой линии. Основные свойства прямой линии. Сложение и вычитание прямолинейных отрезков.

Углы. Виды углов. Построение прямого угла наугольником. Перпендикуляр. Сложение и вычитание углов.

Окружность и круг. Центр. Радиус. Хорда и диаметр. Касательный. Дуга. Концентрические окружности.

Треугольник. Виды треугольников. Периметр. Построение прямоугольных треугольников. Проведение высот в треугольниках.

Прямоугольник и квадрат. Стороны и углы. Высота и основание прямоугольника. Диагонали. Площадь квадрата и прямоугольника. Поверхность и объем куба. Поверхность и объем прямоугольного параллелепипеда.

Основное руководство для преподавателя: Астряб . Наглядная геометрия.

 

 

III КЛАСС

 Арифметика и приготовительный курс алгебры. 3 урока в неделю

а) Арифметика.

Повторение главных вопросов курса I и II-го классов: определения действий, свойства действий, объяснение механизмов действий над целыми числами: умножение и деление дробей. Оценка ошибки приближенной суммы (двух, трех слагаемых), разности и произведения приближенного десятичного числа на целое число. Кратное отношение отвлеченных и именованных чисел. Прямая и обратная пропорциональность. Понятие о кратной пропорции; основное свойство пропорции; определение неизвестного члена ее.

Решение задач на простое тройное правило с помощью пропорций и приведением к единице. Решение задач на сложное тройное правило приведением к единице. Задачи на проценты.

Решение задач, относящихся ко всем отделам арифметики.

Руководства и задачники те же, что во II-м классе.

б) Алгебра.

Употребление букв для записи аксиом (см. объяснит. записку).

Общее решение задач.

Формула. Средства для упрощения формул: коэффициент и показатель. Вычисление формул. Чтение формул. Письмо формул под диктовку.

Простейшие преобразования буквенных выражений. Составление из условий задач уравнений 1-й степени с одним неизвестным и решение таких уравнений.

в) Геометрия. 1 урок в неделю

Углы. Дуговой градус. Угловой градус. Измерение углов транспортиром. Построение углов посредством транспортира. Смежные углы. Вертикальные углы.

Параллельный прямые. Свойства параллельных прямых. Построение параллельных при помощи наугольника и линейки. Углы, образованные двумя параллельными и секущей. Углы с параллельными сторонами.

Треугольники. Свойство углов треугольника. Свойство сторон треугольника. Построение треугольников при помощи транспортира. Признаки равенства треугольников.

Четырехугольники. Виды четырехугольников. Свойства углов четырехугольников. Свойства сторон четырехугольников. Диагонали четырехугольников. Средняя линия трапеции. Построение четырехугольников.

Понятие о подобных фигурах.

Площади. Площадь прямоугольника, параллело­грамма, ромба, квадрата, треугольника, трапеции, много­угольника.

Поверхность и объем пирамиды.

                                                                         Курс проходится без учебника. Руководство для преподавателя то же, что и во II-м классе.

 

IV КЛАСС.

 а) Алгебра. 3 урока в неделю.

Обозначение количеств буквами, знаки для обозначения действий. Скобки. Коэффициент. Степень, показатель степени.

Алгебраическое выражение. Одночлен, бином, многочлен. Численное значение многочлена. Подобные члены. Приведете подобных членов. Расположение многочленов по степеням главной буквы. Измерение одночлена. Однородный многочлен.

Числа положительные и отрицательные. Алгебраическое количество; его абсолютное значение. Четыре действия над алгебраическими количествами. Законы - переместительный, сочетательный и распределительный.

Сложение одночленов и многочленов. Вычитание одночленов и многочленов. Умножение одночленов. Умножение многочлена на одночлен и многочлен. Наибольшее и наименьшее число членов произведения двух многочленов. Квадрат и куб двучлена; произведение суммы двух количеств на их разность. Деление одночленов. Показатели нуль и отрицательный. Деление многочлена на одночлен и многочлен. Признаки неделимости многочленов. Случаи делимости суммы и разности одинаковых степеней двух количеств на сумму и разность этих количеств (на частных примерах). Простейшие случаи разложения многочленов на множители.

Алгебраическая дробь; числитель и знаменатель. Изменение членов дроби. Сокращение дробей; приведете их к общему знаменателю. Четыре действия над дробями. Степень дроби.

Геометрические отношения и пропорции; основное свойство пропорции. Видоизменение пропорции при пе­рестановке ее членов. Непрерывная геометрическая пропорция; среднее геометрическое. Среднее арифметическое. Сложные и производные пропорции. Свойство членов равных отношений.

Равенство, тождество, уравнение; корень уравнения. Однозначащие уравнения. Преобразование уравнений; перенесение членов из одной части в другую и уничтожение знаменателей. Подразделение уравнений по числу неизвестных и по степеням их. Составление и решение уравнении 1-ой степени с одним и двумя неиз­вестными. Исключение неизвестного способами: подста­новки, сложения и вычитания, сравнения неизвестных. Основные свойства неравенства. Решение неравенства 1-й степени с одним неизвестным.

Задачи и примеры.

Руководства: Элементарная алгебра Киселева.

Задачники:

1) Шапошникова и Вальцова;

2) Пржевальского;

3) Бычкова;

4) Бема, Волкова и Струве.

 б) Геометрия. 2 урока в неделю.

Основные геометрические понятия (§§ 1—8).

Прямая линия (§§ 9—12).

Плоскость (§§ 13—14).

Угол. Равенство углов. Сумма и разность углов (§§ 15—17). Смежные углы. Прямой угол (§§ 18—23). Сумма смежных углов; сумма углов при общей вершине (§§ 24—25). Перпендикуляр к прямой. Углы вертикальные, соотношение между ними. Перпендикуляр, опущенный из точки вне прямой на эту прямую (§§ 28 — 32).

Треугольники и многоугольники. Свойства равнобедренного треугольника. Признаки равенства треугольников. Соотношение между углами и сторонами треуголь­ника (§§ 33 — 51).

Перпендикуляры и наклонные. Равенство прямоугольных треугольников. Геометрическое место точек равноудаленных от двух данных точек. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла (§§ 55—63). Основные задачи на построение (§§ 64—67).

Параллельные прямые. Углы с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами (§§ 68—82).

Сумма углов треугольника и многоугольника (§§ 83—87).

Параллелограммы и трапеции. Некоторые теоремы, основанный на свойствах параллелограмма (§§ 88—98. 100—103).

Окружность (§§ 104—111). Равенство и неравенство дуг (§§ 112—118). Равным дугам соответствуют равные хорды и обратно. Равные хорды равно удалены от центра и обратно (первая половина § 119 и § 120). Свойства касательной (§§ 122—129). Относительное положение окружностей (§§ 132—138).

Руководство: Элементарная геометрия Киселева. Задачники: Пржевальского, Минина и Рыбкина.

Номера §§-ов указаны по геометрии Киселева. Изд. 10-е. 1903 года.

 

V   КЛАСС

а) Алгебра. 3 урока в неделю.

Повторение с развитиями статьи об уравнениях 1-й степени с одним и двумя неизвестными. Решение систем уравнении с тремя и более неизвестными. Исключение неизвестного способами: подстановки, сложения и вычитания, сравнения. Случаи неопределенного числа решении совокупных уравнении. Уравнения несовместные. Уравнения условные. Составление систем уравнении из условий вопросов.

Понятие о функции. Изменение функции. Графики функций. График функции у = аx+b. Геометрические интерпретации, относящиеся к решению уравнения ах+и=0 и к системе двух уравнении первой степени с двумя неизвестными.

Возведение в степень; основные свойства этого действия. Возведете одночленов в степень. Возвышение многочленов в квадрат.

Действие извлечения корня, как обратное возведению в степень. Теоремы, устанавливающие условия, необходимые и достаточные для того, чтобы корень некоторой степени m из данного целого или дробного числа мог быть выражен целым или дробным числом.

Приближенное значение квадратного корня из целого числа с точностью до единицы. Извлечение квадратного корня из целого числа, представляющего собою точный квадрат и отыскание приближенного значения квадратного корня из целого числа с точностью до единицы.

Приближенное значение квадратного корня из целого или дробного числа с точностью до 1/n.

Несоизмеримое число. Толкование этого понятия на числовой оси. Задание несоизмеримого числа.

Определение равенства и неравенства вещественных чисел (соизмеримых и несоизмеримых).

Действия над несоизмеримыми числами. Законы переместительный, соединительный и распределительный. Корень степени m из заданного числа.

Извлечете корня из одночленов.

Преобразование радикалов: подведение множителя под знак радикала и обратное преобразование, приведение радикалов к общему показателю. Действия над радикалами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Уничтожение радикалов 2-й степени в знаменателях дробей.

Общий вид квадратного уравнения. Корни неполного квадратного уравнения. Формулы для решения всякого квадратного уравнения. Корни вещественные и мнимые. Число корней квадратного уравнения. Зависимость между корнями и коэффициентами. Разложение трехчлена второй степени на два множителя первой степени. Построение графиков целых функций 2-ой степени с числовыми коэффициентами. Решение простейших уравнений, приводимых к квадратному уравнению.

Решение уравнений с неизвестным под знаками радикала второй степени. Простейшие случаи решения совокупных уравнении второй степени с двумя неизвестными.

Руководства и задачники—те же, что и в IV классе.

 

б) Геометрия. 3 урока в неделю.

Измерение величин. Общая мера двух прямолинейных отрезков; несоизмеримые отрезки. Измерение прямолинейного отрезка. Отношение отрезков соизмеримых и несоизмеримых один с другим (§§ 139—145):

Измерение углов с помощью дуг. Подразделение градуса. Транспортир (§§ 146—165).

Вписанные и описанные многоугольники (§§ 166— 168).

Четыре замечательных точки в треугольнике (§§ 174—176).

Подобие фигур. Подобие треугольников и многоугольников. Признаки подобия треугольников и многоугольников (§§ 177-186 и 189—190).

Некоторые теоремы о пропорциональных линиях (§§ 192,193,195,196,198).

Числовые зависимости между элементами треугольника и некоторых других фигур (§§ 201—210 и §§ 218, 219). Синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике. Решение прямоугольных треугольников (с помощью таблиц натур. триг. вел.).

Правильные многоугольники. Их свойства. Выражение в радиусе описанного круга сторон правильного шестиугольника, квадрата, правильного треугольника (§§ 225—235). Удвоение числа сторон правильного многоугольника (§ 241).

Основные свойства пределов (§§ 244—251).

Вычисление длины окружности (§§ 252, 254, 256, 263).

Измерение площадей. Площади прямоугольника, квадрата, параллелограмма, треугольника, трапеции и правильного многоугольника (§§ 266—277 и §§ 280—284).

Теорема Пифагора (§ 286 и 287).

Отношение площадей подобных фигур (§§ 289—292).

Площадь круга и его частей (§§ 294—298).

Стереометрия. Прямая и плоскость в пространстве. Определение положения плоскости. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Параллельные прямые. Прямые, параллельные плоскости. Параллельные плоскости (§§ 303—338).

Руководства и задачники те же, что в IV классе.  Номера §§ указаны по геометрии Киселева. Изд. 10-е. 1903 года.

 

VI КЛАСС

 а) Алгебра. 2 урока в неделю.

Исследование задач с буквенными данными. Символы 0/0, a/0, ∞. Повторение (с развитиями) статьи о пределах.

Арифметическая прогрессия - возрастающая и убывающая. Выражение общего члена арифметической прогрессии и суммы ее членов.

Геометрическая прогрессия - возрастающая и убывающая. Выражение общего члена и суммы членов геометрической прогрессии. Типы задач на прогрессии: арифметические и геометрические. Предел суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии: приложение к периодической десятичной дроби.

Степени с отрицательными и дробными показателями. Действия над ними,

Логарифм; его основание и знак. Логарифм отрицательного числа при положительном основании. Логарифм основания и логарифм единицы. Изменяемость логарифма при изменении числа в случаях основания большого единицы и меньшого единицы. Графики функции у = ах и у = lgx. Логарифмы произведения, частного, степени и корня. Логарифмирование: обратное преобразование.

Логарифмы степеней 10-ти и промежуточных целых чисел по системе Бригга. Характеристика и мантисса. Характеристика логарифма числа большого единицы и числа меньшого единицы. Четыре действия над логарифмами с отрицательной характеристикой. Изменение логарифма от умножения, или деления числа на целую степень 10-ти. Логарифм десятичной дроби. Состав и употребление таблиц логарифмов десятичной системы.

Приложение логарифмов к решению показательных уравнений.

Формула сложных процентов. Задачи и примеры.

Руководства и задачники: те же, что и в предыдущих классах.

 

б) Геометрия, приложение алгебры к геометрии и проекционное черчение. 2 урока в неделю.

 

 I. Геометрия

Двухгранные углы. Перпендикулярные плоскости. Угол прямой с плоскостью (§§ 339 — 352).

Многогранные углы (§ 353). Понятие о симметричности многогранных углов.

Многогранники. Свойства параллелепипеда и пирамиды. (§§ 361—365). Свойства граней и диагоналей параллелепипеда (§§ 367—370). Свойства параллельных сечении в пирамиде (§§ 371—374).

Боковая поверхность призмы и пирамиды (§§ 375— 378).

Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем куба. Объем всякого параллелепипеда (§§ 379 — 387). Объем призмы. Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды (§§ 388—394).

Понятие о подобных многогранниках (§ 397). Отношение поверхностей и объемов подобных многогранников (§§ 401, 402).

Круглые тела: цилиндр и конус (прямые), шар. Боковая поверхность цилиндра и конуса (§§ 412—427). Объем цилиндра и конуса (§§ 428—433).

Подобные цилиндры и конусы (§ 434, 435). Шар и сечение его плоскостью. Свойство больших кругов шара (8§ 436—441).

Поверхность и объем шара и его частей (§§ 445— 456).

Руководства и задачники: те же, что в предыдущих класса.

 II. Приложение алгебры к геометрии.

Ход решения геометрических задач помощью алгебры.

Однородность уравнений, получаемых при решении геометрических задач.

Построение прямолинейных отрезков, выраженных формулами рациональными и иррациональными, содержащими и не содержащими тригонометрических величин.

Задачи на построение.

Руководство: Элементарная геометрия А. Киселева.

III. Проекционное черчение.

Проекции на две взаимно перпендикулярные плос­кости (в первом угле), точки, отрезка прямой, многоугольника, круга и некоторых многогранников.

Построение проекции куба по числовым данным, при разных положениях этого тела относительно плоскостей проекции в первом угле. Проекции круглых тел в некоторых простейших случаях. Построение проекций сечений конуса плоскостью в некоторых частных случаях.

Пособие: Элементарный курс проекционного черчения Лютера.

 

в) Тригонометрия. 2 урока в неделю.

Обобщение понятия об угле. Единицы углов. Тригонометрические функции. Изменения их. Графики. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

Формулы приведения. Периодичность тригонометриче­ских функций. Формулы сложения, умножения и деления. Приведете формул к виду удобному для логарифмирования.

Тригонометрические таблицы. Понятие о составлении их. Формулы для решения прямоугольных и косоугольных треугольников.

Решение прямоугольных и косоугольных треугольников и разных геометрических задач (в том числе на местности).

Решение тригонометрических уравнении.

Руководства: Шапошникова и Рыбкина. Задачники Рыбкина и Верещагина.

 

VII  КЛАСС.

а) Арифметика. 1/2 урока годовых.

Элементарные свойства чисел: делимость, теория первоначальных чисел, теория общего наибольшего делителя и наименьшего кратного.

Решение задач.

Руководство: Курс арифметики Серре и Комберусса перевод Гутора (Из подлежащей изучению части этой книги могут быть выпущены следующие параграфы: 81, 85, 86, 87, 98, 99, 100, 102,114, 116, 127, 129, 130 и 131).

 

б) Алгебра. 1 годовой урок.

Уравнения.

Тождество и уравнение. Теоремы, устанавливающая равносильность уравнений.

Делимость целой алгебраической функции относительно x на бином x-a.

Разложение целой алгебраической функции степени n на n линейных множителей. Число корней целой функции. Решение уравнений с одним неизвестным 1-й степени, квадратных, биквадратных и двучленных. Зависимость между корнями и коэффициентами (на частных примерах). Система уравнений.

Теоремы, устанавливающие равносильность систем уравнении.

Решение системы уравнении 1-ой степени и простейших систем 2-ой степени.

Учебник: Элементарная алгебра Киселева.

Основания анализа (1/2 год. урока).

Основные теоремы о пределах. Непрерывность функции. Производная функции. Первообразная функция. Значение производной в геометрии и механике. Производная простейших функций. Производная суммы, произведения и частного. Производная функции сложного переменного. Признаки возрастания и убывания функций. «Maxima» и «minima» функции. Исследование изменения функции. Построение графиков функций.

Учебник: М. Попруженко. Начала анализа.

 

в) Геометрия. 1/2 годовых урока.

Повторяется основной материал курса геометрии разгруппированный на следующие отделы:

1) Аксиомы и определения.

2) Прямая линия и плоскость. Многоугольники и многогранники.

Этот отдел обнимает собою: первую книгу планиметрии, первую и часть 2-ой книги стереометрии. Здесь параллельно повторяется планиметрический и соответствующий стереометрический материал, причем особенно выдвигается метод наложения. Тут, как и далее, требуется доказательство только основных теорем, а остальные подвергаются лишь обзору и перечислению. Статья о параллельных прямых должна быть повторена полностью, при чем непременно нужно указать необходимые и достаточные условия параллельности двух прямых на плоскости.

3) Изменение величин. Подобие фигур и многогранников. Числовые зависимости между элементами фигур и многогранников. Измерение площадей прямолинейных фигур и поверхностей многогранников. Объем параллелепипеда и призмы.

4) Метод пределов и применение его к измерению длины окружности, площади круга, объема пирамиды, поверхностей и объемов круглых тел.

5) Обзор геометрических мест.

6) Общий обзор системы курса.

При повторении обращается особое внимание на общелогическую сторону (определения, классификации, разные способы доказательств и пр. См. цирк. предп. Гл. Управл. от 27 окниября 1910 г. за № 23153).

В VII-м классе продолжается решение геометрических задач на построение по преимуществу методом геометрических мест и методом подобия.

Руководства: те же, что в предыдущих классах.

 

г) Начала аналитической геометрии: (1½годовых урока).

Понятие о геометрических местах (§ 1). Определение положения точки в пространстве и на плоскости в Декартовых координатах (прямоугольных и косоугольных, § 2, 8, 117). Понятие о других системах координат.

Расстояние между двумя точками и деление его в данном отношении (§ 9, 10).

Линии, как геометрические места уравнений. Примеры построения линии по уравнениям (§§ 13—16).

Пересечение данных линий (§17, 18).

Прямая линия, задачи на прямую (§§ 25—36).

Окружность (§ 37). Задачи на окружность (§§ 38—42).

Эллипс (§§ 43—47, §§ 49, 50, 52, 53), Задачи на эллипс.

Гипербола (§£ 59—62, 64, 65, 67—68, 1-й способ). Асимптоты гиперболы (§ 70). Задачи на гиперболу.

Парабола. Разные виды уравнения параболы. (§§ 71-73, § 75-77, 1-й способ). Задачи на параболу.

Уравнения касательной к эллипсу, параболе и гиперболе.

Учебник А. Фролова. Начала аналитической геометрии